机器人编队的实时结构计算是机器人群智感知的一个关键问题。考虑一个由大量移动机器人所组成的移动网络，设网络中有 \\\\( n \\\\) 个机器人，每个机器人可以通过UWB高精度无线测距，测量同周边测距半径\\\\( R \\\\) 范围内其它机器人的距离：\n\\[{d_{ij}} = \\left\\{ \\begin{gathered}\n {\\left\\| {{{\\mathbf{p}}_i} - {{\\mathbf{p}}_j}} \\right\\|_2} + {\\delta _{ij}},{\\text{ if }}{\\left\\| {{{\\mathbf{p}}_i} - {{\\mathbf{p}}_j}} \\right\\|_2} \\leqslant R \\hfill \\\\\n {\\rm N}a{\\rm N}{\\text{, if }}{\\left\\| {{{\\mathbf{p}}_i} - {{\\mathbf{p}}_j}} \\right\\|_2} > R \\hfill \\\\ \n\\end{gathered} \\right.\\]\n\n其中 \\\\( \\mathbf p_i \\in \\mathbb R^d\\\\) 是机器人 \\\\(i \\\\) 的真实位置，是未知的，也是我们要求的；\\\\(d\\in \\{2,3\\} \\\\)是空间维度； \\\\( R \\\\) 是最大测距半径。\\\\( \\sigma_{ij} \\sim \\mathcal{N}(0, \\sigma^2) \\\\) 是高斯分布的测距噪声。\n\n上述测量矩阵也形成一个图\\\\(\\bf G=(V, E) \\\\)，其中\\\\(\\mathbf V\\\\)代表\\\\(n\\\\)个机器人，\\\\( (i,j) \\in \\mathbf E, \\textrm{ if } d_{ij} \\ne \\textrm{ NaN} \\\\). \n
\n\n给定的数据分别是2-D和3-D情况下，一定噪声情况下的距离测量矩阵\\\\( D =\\{d_{ij}\\} \\\\)和\\\\(d+1\\\\)个Anchor节点的真实坐标，请求出机器人队伍的编队结构，即求\\\\(\\mathbf P \\in \\mathbb{R}^{d\\times n}=\\{\\bf p_1, p_2, \\cdots, p_n\\}\\\\)，使得：\n\n\\[\\begin{gathered}\n {\\mathbf{P}} = \\mathop {\\arg \\min }\\limits_{{{\\mathbf{p}}_1},{{\\mathbf{p}}_2}, \\cdots {{\\mathbf{p}}_n}} \\sum\\limits_{(i,j) \\in {\\mathbf{E}}}^{} {\\left\\| {{{\\left\\| {{{\\mathbf{p}}_i} - {{\\mathbf{p}}_j}} \\right\\|}_2} - {d_{ij}}} \\right\\|_2^2} \\\\ \n s.t.{\\text{ }}\\left\\| {{{\\mathbf{p}}_i} - {{\\mathbf{p}}_j}} \\right\\| > R,{\\text{ if }}(i,j) \\notin {\\mathbf{E}} \\\\ \n\\end{gathered} \\]\n
\n\n此问题关注机器人的空间相对坐标，即编队结构。计算时，大家可以使用Anchor的真实位置，也可以不使用Anchor的真实位置。在提交结果时，大家需要对计算的位置结果矩阵\\\\( \\bf P\\\\)通过一个刚性旋转平移变换，使得Anchor节点的计算坐标同真实坐标对齐，并将经旋转平移对齐之后的\\\\( \\bf n\\\\)个节点坐标矩阵\\\\( \\bf P'\\\\)提交。\n\\[[{\\mathbf{R,T}}] = {\\text{procrustes}}({{\\mathbf{P}}_{\\mathbf{A}}},{\\mathbf{P}}_{\\mathbf{A}}^{groundtruth})\\]\n\n\\[{\\mathbf{P'}} = {\\mathbf{RP}} + {\\mathbf{T}}\\]\n
\n\n\n评价函数评价提交的节点坐标与真实坐标的RSME(Rooted Mean Squre Error)。评价函数将自行完成如下功能：\n\n\\[e = \\sqrt {\\frac{1}{n}\\sum\\limits_{i = 1}^n {\\left\\| {{{\\mathbf{p}'}_i} - {\\mathbf{p}}_i^{groundtruth}} \\right\\|_2^2} } \\]\n\n其中\\\\(e \\\\) 即是大家的结果的评价误差，\\\\(e \\\\)越小越好。\n
\n\n测试数据集从易到难，即规模从小到大，测距矩阵从密集到稀疏，噪声从小到大，共给大家提供了4组测试数据，请大家输出每组数据的定位结果，形式为 \\\\(\\mathbf P \\in \\mathbb{R}^{d\\times n}=\\{\\bf p_1, p_2, \\cdots, p_n\\}\\\\)，即\\\\(d \\\\)行\\\\(n\\\\)列的结果矩阵。
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